手机版
您的位置: 首页 > 生活常识 >

因数分解(例谈因式分解的方法与技巧)

100次浏览     发布时间:2024-10-10 08:46:36    


因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,是处理数学问题重要的手段和工具,也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解,除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外,还应根据多项式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易,化繁为简,复杂问题迎刃而解,而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯,提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:

一、巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。

例1、因式分解:a-b+4a+2b+3

解析:根据多项式的特点,把3拆成4+(-1),

则a-b+4a+2b+3=a-b+4a+2b+4-1=(a+4a+4)-(b-2b+1)=(a+2)-(b-1)=(a+b+1)(a-b+3)

例2、因式分解x+6x+11x+6

解析:根据多项式的特点,把6x拆成2x+4x;把11x拆成8x+3x

则x+6x+11x+6=(x+2x)+(4x+8x)+(3x+6)=x(x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+4x+3)=(x+1)(x+2)(x+3)

二、巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。

例3、因式分解x-3x+4

解析:根据多项式的特点,将-3x拆成-4x+x,再添上4x,-4x两项,

则x-3x+4=x-4x+4x+x-4x+4=x(x-4x+4)+(x-4x+4)=(x-4x+4)(x+1)=(x+1)(x-2)

三、巧换元:在某些多项式的因式分解过程中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式,会使问题化繁为简,迅捷获解。

例4、因式分解(x+3x-4)(x-x-6)+24

解析:(x+3x-4)(x-x-6)+24=(x-1)(x+4)(x+2)(x-3)+24

=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

=(x+x-2)(x+x-12)+24

设y=x+x-2,则x+x-12=y-10 于是,原式=y(y-10)+24=y-10y+24

=(y-4)(y-6)=(x+x-2-4)(x+x-2-6)=(x+x-6)(x+x-8)

=(x-2)(x+3)(x+x-8)

例5、因式分解(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)

解析:设x+y=m,xy=n,则(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)

=(m-2n)(m-2)+(n-1)=m-2mn+n-2m+2n+1

=(m-n)-2(m-n)+1=(m-n-1)=(x+y-xy-1)

=[(x-1)(1-y)]=(x-1)(y-1)

四、展开巧组合:若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可采取展开重组合,然后再用基本方法分解,可谓匠心独具,使问题巧妙得解。

例6、因式分解mn(x+y)+xy(m+n)

解析:将多项式展开再重新组合,分组分解

mn(x+y)+xy(m+n)=mnx+mny+xym+xyn

=(mnx+xym)+(mny+xyn)=mx(nx+my)+ny(nx+my)=(nx+my)(mx+ny)

例7、因式分解(mx+ny)+(nx-my)

解析:(mx+ny)+(nx-my)=mx+2mnxy+ny+nx-2mnxy+my

=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)

五、巧用主元:对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,常以其中一个字母为主元进行变形整理,可使问题柳暗花明,别有洞天。

例8、因式分解ab+ab+ac+ac+bc+bc+2abc

解析:这是一个轮换对称多项式,不妨以a为主元进行整理

ab+ab+ac+ac+bc+bc+2abc=a(b+c)+a(b+2bc+c)+bc(b+c)

=a(b+c)+a(b+c)+bc(b+c)=(b+c)[a+a(b+c)+bc]

=(b+c)(a+ab+ac+bc)=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]=(a+b)(a+c)(b+c)

从以上几例可以看出,因式分解题型众多,方法灵活,有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征,选用恰当的方法与技巧,不仅可以化难为易,迅速求解,而且有助于培养同学们的创新思维,有效地激发同学们的学习兴趣。

相关文章

  • 2025-04-02 09:08:52
  • 2025-04-02 06:05:17
  • 2025-04-02 04:19:18
  • 2025-04-02 02:05:46
  • 2025-04-02 01:07:00
  • 2025-04-01 06:34:42
  • 热门文章
    义务兵退伍贷款怎么贷?超详细申请攻略
    新婚姻法离婚财产分割有什么规定
    省委书记多少岁退休 ?看完你就知道了
    医疗机构执业许可证的申请条件是哪些?
    产假和陪产假是什么?一起来看看吧
    【政策解读】投标人公平竞争原则的重要性
    什么是倾销?反倾销调查:我国连续23年位居榜首,为什么中国企业备受打压?
    消费者保障服务 :构建和谐市场的关键"
    老人过世了,房产如何继承过户?教给你3个步骤,4种方法
    二手房过户手续费需要交哪些
    最新文章
    为什么植物叶子变黄(植物黄叶90%死于这个原因!)
    1. 浇水太多。叶片发黄发软,根系可能已经烂了。记住:宁可渴着,不要涝着。2. 光照不足。叶片失去光泽,慢慢发黄。特别是夏天,很多绿植都需要散射光。3. 营养不良。从老叶开始泛黄,新叶也无精打采。记得定期施肥,补充营养。4. 温度不适。忽冷忽热,空调直吹,都会导致叶片发黄脱落。记得远离冷暖气出风口。
    · 为什么植物叶子变黄(植物黄叶90%死于这个原因!)
    · 为什么圆床很少人用(以前很流行的“圆形床”,为何如今销声匿迹?)
    · 屋子里为什么有蟑螂(远离蟑螂侵扰,拥有健康家庭)
    · 新房为什么要装修才交付(没交房到底要不要看装修?这7点你要知道)
    · 昙花为什么不开花适宜温度多少(昙花怎么养才能开花)
    · 为什么有电流声音(在安静的环境中耳朵经常听到的电流声?)
    · 资金产品是什么(图解支付平台资金产品设计)
    · 什么样的投资好(人生最好的投资,往往是指这3种)

    网站内容来自网络,如有侵权请联系我们,立即删除!
    Copyright © 恩格百科 琼ICP备2023007320号-5